以下は、数学セミナー 2018年 12 月号 [雑誌]に関する最も有用なレビューの一部です。 この本を購入する/読むことを決定する前にこれを検討することができます。

モバイルサイトでは言語を英語に切り替えると数式が見やすい.多様体と代数系の初歩を既知として,幾何学の概念がなんとなくわかるように説明されている.幾何学では厳密な理解の他に直観的な理解も大切である. 本誌では, 曲率・微分形式・ファイバー束・コホモロジー・接続・特性類といった幾何学に必須な概念を直観的にも説明しており大変参考になる. 二つの記事で微分形式にも図説があるのは高く評価されるべきだろう.ただ, 曲率の説明で, グラフが原点でxy平面に接する二変数関数Fのマクローリン展開の式が間違っている. 正しくはF(a, b)＝F(0, 0)＋1/1!((∂F/∂x)(0, 0)a＋(∂F/∂y)(0, 0)b)＋1/2!(((∂^2)F/(∂x^2))(0, 0)a^2＋2((∂^2)F/∂x∂y)(0, 0)ab＋((∂^2)F/(∂y^2))(0, 0)b^2)＋o(a^2, ab, b^2)すなわちF(a, b)＝(1/2)(La^2＋2Mab＋Nb^2)＋o(…)なのでガウス曲率はK＝LN−M^2よりはK＝(1/4)(LN−M^2)が正しい.これは, 楕円放物面z＝x^2＋y^2のガウス曲率がK＝1とあり, また双曲放物面z＝x^2−y^2のガウス曲率がK＝−1とあること, およびFの原点(0, 0)におけるテイラー展開の二次の項が対称行列A＝⎛L/2 M/2⎞⎝M/2 N/2⎠を係数とする変数(a, b)の二次形式だからである.一般論ではK＝LN−M^2である. これが座標軸の回転と平行移動で不変であるのは線型変換Pに対してdet((P^(−1))AP)＝det(A)であることによる.Bを底空間, Fをファイバーとするファイバー束(E, π, B)とは, 本文を意訳すると, 以下のような物である. これは層や測度空間あるいは位相空間の概念のように, 単にEをF-束と考えればよい: 位相空間E, B, Fと連続写像π:E→Bがあり任意のb∈Bに対してπ^(−1)(b)≅Fとする. Bの開被覆U_λ_λと各添え字λに対して同相写像Φ_λ:π^(−1)(U_λ)(⊆E)→(U_λ)×F(⊆B×F)が存在してπ_1:(U_λ)×F(⊆B×F)→U_λ(⊆B)に対してπ＝π_1○Φ_λが成り立つ. (可換図式を描くとわかりやすい.)π^(−1)(U_λ)ーー Φ_λ ー→(U_λ)×F | |π π_1 | |↓| U_λ←ーーーーーーーーーーー接束も, (TM, π, M)を接束と呼ぶよりTMを接束と考えると理解しやすいであろう. 実際に後の記事や「幾何解析」など幾何学の本では単にTMを接束と呼んでいる.「逆に, Bの開被覆U_λ_λと上に述べた条件をすべてみたすΨ_λμの集まりが与えられたとき, (U_λ)×FたちをΨ_λμによって貼り合わせることで, B上のF-束が構成できる. 」とあり以下に帰納的極限の概念が曖昧に表面化しているので厳密な定式化をしておきたい. 互いに素な和集合Σ_λ (U_λ)×Fにおいて二点が同値(b, x)〜(b', x')であることをb'＝bかつ或る(Ψ_λμ)(b)が存在してx'＝((Ψ_λμ)(b))(x)と定義して商位相空間(に帰納極限位相を入れて作られる空間)(Σ_λ (U_λ)×F)/〜＝lim((U_λ)×F)が「…」で言うF-束である.ちなみに, ホモロジーとコホモロジーは対象となる図形の穴の数を測る概念である.(「解析演習」295-296ページ目の一部を意訳)可微分多様体Mの実係数p次ホモロジー群をH_p(M)＝ker∂/Im∂とするとき, M上の任意の閉p-形式が完全形式⇔H_p(M)＝0, 特にMが単連結⇔M上の任意の閉一次微分形式ωがM上の可微分関数αによりω＝dαと書ける.(「多様体入門」第Ⅲ章 §6. 本文の一部を意訳)可微分多様体Mの連結成分の個数をkとすると, Mの0次ド・ラームコホモロジー環(H^0)(M)はk次元線型空間である. またMを単連結とすれば(H^1)(M)＝(0)である.(本書29ページ目の一部を意訳)多様体の実係数k次特異コホモロジー群とk次ド・ラームコホモロジー群は同型である.なお, 連載記事で, 基本近傍系・開基・稠密性についてのおもしろい物もある. 奇妙な位相空間についても解説されている. またラマヌジャンの1/πを無限級数で表す公式の証明も載っている. ‪ちなみに1/πは, 等間隔に平行線を無数に引きその間隔の半分の針を投げて平行線と交わる確率に等しい‬(ビュフォンの針の実験).本誌とこのレビューが幾何学を学ぶヒントになれば幸いである.なお関数解析の応用として機械学習の記事もあるが, これもよく書けているらしい.