ガウス関数のフーリエ変換

　フーリエ変換の感覚をつかむために、ガウス関数(マイナスｘの２乗の指数関数)をフーリエ変換してみましょう。実は、ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数になります。

　指数関数の肩を２乗の形にします。その後で、x+ik/2→xと置き換えることで積分範囲をずらして、指数関数の肩を簡単にします。実は、ここで積分範囲だけを戻しても同じ値になります。よって、kのガウス関数と、kに関係ない定数(xに関する積分)になります。ちなみに、xに関する積分の値は√πになります。

　積分範囲だけを戻しても同じであることを見ます。ガウス関数は普通に積分できる(極が無い)ので、一周の積分の値は０になります。ここで、ガウス関数の無限遠での値は0なので、その積分は無視してよく、無限遠から無限遠の積分だけが残ります。

　片方の積分範囲を反転すればマイナスがつくので、それを移項すれば欲しかった結果が得られます。

　ついでに、定数部分を計算するために、その２乗を計算します。極座標に直すと、角度方向はrdθが長さになるため、rが掛かります。このrを使うと簡単に積分が出来て、この値はπになります。

　極座標のところでは、このような置き換えをしました。

　今回は、ガウス関数のフーリエ変換について見てきました。私は、ガウス関数をフーリエ変換すると同じ関数になることを知って、ガウス関数が何か特別な関数のように思えるようになりました。