今日の報告（10/16）写像の簡単な話パート1

まずは本日の報告と一週間の報告を、

昨日は学校があって、家に帰ってから2時間ほどだらけて（まぁここが反省点なんだけど）その後の記憶がなく13時間寝てました。普段寝ない代わりに時々すごい寝るんですよね、昔家庭の医学だかで平日寝なくて土日に睡眠時間をまとめて確保するのは良くない（なぜだかは忘れた）といってたので土日も寝ないようにします！！！！

勉強の内容についてはチャートは今日は三角関数をやりました。この前の駿台模試で全然できなくてまだ凹んでるんですよね（うちは1週間ほど前だった）

んで今日は英語を結構やったつもりです。

今、化学の勉強の途中で中和滴定のところの新研究読んだのでこの後セミナー解きます。化学一週間に一単元と言いましたが確か水曜日くらいに初めて微妙なので今週の金曜までは酸塩基中和をやります。この一週間のやつはセミナー化学基礎→リードアルファ化学→重要問題集でやります。単元ごとによって載ってる載ってないが違うので上の矢印の順にやります。

最近物理サボりがちなので物理も一日1時間やろうと思います。物理は予習で。

だからしばらくの日々の勉強時間は

数オリ（最低2時間）+数学（受験）=3~4時間

化学（週ごとに決めた単元）=1時間

物理（予習）=１時間

英語（1~2時間）

ってな感じでやろうと思います。英語嫌いなんですけどできるようにならないと受験でも僕の場合だと将来困るので頑張ります。

本日はカントールの対角線論法とベルンシュタインの定理と、情報科学における数理の最初の方（トートロジーとか）をやりました。

別に集合論の方に行きたいわけではなくて、

単純に数学の基礎の部分は集合論だと思うので（命題を厳密に書くとか）そういう意味でやってます。絶対いつか役に立つと信じてます。

個人的にはカントールの対角線論法はとっても面白い理論だと思いました。

僕の面白いを共有したいので今から軽く集合の話を書きます。多分今日で全部は書かず、明日以降の記事に持ち越しますが、みなさんが面白いと思えるような簡単な部分だけ教えます。是非面白いと思ったら本を買って勉強してみて、理学部数学科に行きましょう。

数学苦手な人でも面白いと思えるようにかなり噛み砕いて書くのでマジレスはお控えください。

まず、無限個のなかでどれ位大きいかというのを濃度と言います。Aの濃度はBより大きい、そしてAとBは無限集合、だとAの方が大きい無限大って感じです。（ちょっと変な文章な気もしますが、わかりやすさのため気にせず行きます）

例えば自然数（0は含めない）全部と負の整数の濃度は一致します。

なぜなら自然数をnとした時、関数（この場合写像という）fを

f(n)=-n

とすると、必ず-nというのはnから来ています。

具体的な数字でいうと3=nとします。このときf(3)=-3です。じゃあ-3はもとは何だったでしょうという質問をされたらなんて答えますか？

5とか69とか1145141919810とか答えた人は一回病院に行った方がいいです。どう考えても-3の元の数は3ですよね？

つまりf(a)=f(b)だったらa=bです。これを単射（1対１の対応）と言います。噛み砕いていうなら、必ず-nが決まったらnが決まるよねってことです。簡単ですよね？

なんでこんな話をしてるかは後になったらわかるので今はそーなんだーくらいで読んでいてください。

次、例えば-cが与えられたとしましょう。このとき、cが自然数なら何であっても元の数字が求まりますよね？

たとえば-40の元の数字は？って聞かれたら40って答えますよね、じゃあなんかの数字があって、元に直したら40になります。戻す前の数は-40以外にあるでしょうかと聞かれたらなんて答えますか？答えは「-40以外はない」ですよね

ちょっと文字を使うと

f(d)=-cだったらd=cですよね？

これが全射です。ちゃんと言うならどんなbに対しても適切なaを取ってくればf(a)=bが成り立つ。こんな感じです。

この単射と全射を満たした写像を全単射って言います。上にあげたf(n)も確認したように全単射です。

実は全単射が作れれば濃度が等しいと言えます。なぜなら

1対１に対応してしかもすべての要素に対応してるもとの要素があります。

これだけでなんとなくでもたしかに等しいと思えると思います。

つまり自然数の個数の無限個と負の整数の無限個の数は等しいです。（濃度が等しい）

このとき、自然数全部の濃度と濃度が等しい集合を可算集合と言います。

この場合、負の整数も可算集合です。（全単射が出来て濃度が等しかったから）

今日は疲れたんでここまでにします。

宿題、と大それたほどではありませんが、

問題 整数すべての集合は可算集合である、このことをガウス記号（x≦[x]<x+1）を用いた、全単射を考えることで示せ

ヒントバリバリ与えてるのでちょっと考えればできるかもしれないです。

じゃあ今日の勉強は終わります。数オリの面白いと思った問題は別コーナーで記事作りたいと思います。数学講座とか好評でしたら単独で記事作るので評価お願いします。

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