今日は結構頑張りました（数学）＆写像の簡単なお話パート3
まずは画像をご覧下さい
今日、9時間弱は勉強しました。
いい調子です。このまま１日12時間くらいまで増やしたいです。まだ無駄な時間結構あるので。
まぁ皆さんおわかりの通り数オリの勉強しすぎです。正直予選通過出来たらいい方ぐらいにやってるのにやりすぎな気もします。ただ出来るところまでやりたいのであんまり触れない方向で、こんなに勉強してるのに予選落ちとかはかなり恥ずかしいので頑張りたいです。
数オリの勉強の所を受験勉強に出来ればそれこそ受かる確率ぐんと上がるってのも充分分かるんですけど、数オリは一応今年で最後、あと数オリの勉強は東大の数学にも繋がるところがある、ということなんで、あまり気にしないで、敗退するまではこんな感じでやろうと思います。東大受験は最悪1回までならコンティニューがききます。
ですが、ほかの教科の勉強が疎かなのはダメなので、特に用事がない日は数オリの勉強以外の勉強を5時間くらいは確保したいです。
ブログを書くのが1時間近くかかるので、0時から3時の間に2時間、学校で2時間、家に帰ってから1~2時間は数オリ以外の勉強をします。
それ以外の時間は基本的にほかの何かをしてるか、数オリの勉強をしてるかにします。もう動画を見るのはやめ、ゲームもやめたので大丈夫だとは思います。ただ私用で土日の夜は12月いっぱいまで無理なのと、ここ大事なんですが、アニメはまだ見てるのでそこ以外は勉強します。アニメは本数はちゃんと削ってるんですけど…気分転換0は絶対体に悪いのでアニメは0にはしないつもりです。ただ、週に何時間も見てたらそりゃあ落ちるので1.2ほんまで減らしたいです。（今期は良作ぞろいでごにょごにょ……
まぁまじな話、1.2本にはする予定です。なぜなら0本にしてしまうとSteins;Gate0を見れないのでそれは嫌だからです（大真面目。見ないくらいなら最悪落ちてもいいです。それぐらいシュタゲ好きです。というイキリオタク構文でした。
まぁ今日はなんか言い訳回になってますね、とりあえずアニメを見ようが数オリの勉強をしようが、ほかの勉強時間が7時間くらい行くようになれば上出来なので結果で示せるよう頑張ります。もっと言えば勉強何時間したかより模試とかでどれだけ偏差値が伸びるか、の方が大事なので結果が出るように努力します。
数オリは早くて来年の1月、遅くても7月（ただしこれは日本代表に選ばれるということなのでそれは無い）には終わるので終わり次第数オリの勉強時間も受験勉強します。
じゃあ写像の話の続きでも
前回、単射と全射の濃度位までやりましたよね？大きい小さいみたいな。
じゃあ無限集合の話をしましょう。
まず、自然数全体の集合は無限集合です。要素が無限個あります。自然数全体の集合をＮと書きます（縦棒とか2重線とか宗派は色々あるが、ネットの文字に、該当するのがなかったので普通の大文字の全角のＮと書きます）
このとき、Ｎと濃度が同じ集合を可算集合と言います。
今、過去の記事見てきましたが、記憶ガバガバですね。前同じこと書いてるやんかい、、、
要は全単射がＮからかければ、その集合は可算集合となります。
じゃあカントールさんの対角線論法の話です。僕はとても感動したんですが、友達に話したらそんなに感動してませんでした。かなc
対角線論法とは、実数全体の集合が可算集合では無いことを証明する方法のことです。そこから応用されて、いろんなのに使われてるらしいですが、
まず、実数の例を上げましょう。
もちろん1は実数です。（整数）
1/5、0.6も実数です。（有理数）
1/3、も実数です。（無理数）
π（円周率）やe（自然対数の底）も実数です（超越数）
もっと言えば、適当に0.のあと数字を無限に並べたやつ全部実数です。
対角線論法をするにあたって、0<x<1（x∈Ｒ）（Ｒは実数全体の集合）を考えます。なんでこんな狭い範囲でいいかと言うと、0<x<1の実数の方が、自然数全体の集合より圧倒的に多い、ということを体感してほしいからです。その上で証明します。
証明をするにあたって、
有理数ってこの証明をするにあたって邪m…面倒なんですよ、ですので
例えば、0.6=0.5999999…（9が無限に続く）とします。同じように0.1=0.0999999…（9が無限に続く）とします。
この等式がなぜ成り立つのかは、
①左辺を分数にして、(1/m)×nとして、右辺では1/mを先に無限小数にした後nをかける（ただしこれはすべてに使えるわけじゃない、上の例だと使えない）
②ε-δ論法をつかう
がパッと思いつきますが、詳しい話は割愛するので興味があったら調べてみてください。
ここではこういうふうに決めるぐらいに扱っときます。
さぁいよいよ対角線論法です。
まず、自然数からさっきの区間への全単射が存在するとします。
そうすると
n=1に対応する無限小数が1個、
n=2に対応する無限小数が1個、
n=3に対応する無限少数が1個、
……
となりますのでここで、（画像は相変わらず拾い物ですが）
このようにします。
どういう事かというと、左側がnに対応してます。
要は1番目の無限小数が1番上のやつ、2番目の無限小数が上から2番目のやつ………M番目の無限小数が一番下のやつ……ってことで、小数第n桁の数字をa_M.nとします。
例えば、1番目の無限小数の少数第5桁の数字は
a_1.5です。
要は二種類の添字がついてます。
今、全単射ができた時、と仮定してあるのでこれで範囲内のすべての無限小数が表されたはずです。
当然a_1.1=0、a_2.1=0、……なんですけど、
このとき、a_n.nという数字を考えます。
要は「対角線」になるところです。
このa_n.nが偶数の時、a_n.nを1に変え、a_n.nが奇数の時0に変えます。
そうして、a_n.nを左上から右下に向かって読んだ少数、b_1.1 b_2.2 b_3.3…を考えます。この無限少数は0か1で出来てますね。
適当に画像拾ってきてるので文字が変わってしまい申し訳ないんですが
このとき、さっき出来た、ななめ読みの無限小数をbとします。
すると、bってA_1とは少数第1位が違いますよね？偶数なら1、奇数なら0に変わってるので。同じようにbってA_2とは少数第二位が違いますよね？A_3とは少数第三位が違う、A_nとは小数第n位が違いますよね。
つまり何が言いたいかというとbってA_nの中にないんですよ、
全単射があると仮定したのにできてない少数bが作れたので、全単射があるって仮定が間違ってたことになり、これで
Ｎの濃度<Ｒの濃度が言えました。ということです。
僕の説明が下手でよくわからなかったら申しわけない、ただ面白いし、そこまで難しくもないのでぜひ調べてみてください。対角線論法くらいならネットにいくつも説明してる記事があるので是非見てください。
とりあえず全三回の写像の話はおしまいです。
次とかは何するか未定ですが何か面白いことがあったら記事にしてこうと思います。
ではいつも読んでくれてる人、ありがとうございました。よかったら投票してってください。