３重の正６面体と３６５

http://metalogue.jugem.jp/?eid=1827　　より

■プラトン立体の中で一番馴染み深い正６面体で話を進めよう。正６面体の６つの面の中心をつなぐと正８面体が現れる。そしてこの正８面体の８つの面の中心を繋ぐと、図左に示したように再び小さな正６面体が現れてくる。この２度の面点変換で生じた２つの正６面体の体積比は１：27である。これは双対立体の正８面体側から見ても同様で、この関係はミクロ・マクロの双方向にどこまでも続いている。

■この操作を外側に展開するとは、内側の正６面体から外側の正６面体への変換操作に等しい。基本の正６面体の体積を１とすれば、体積は外側に３^0→３^3→３^6→３^9…と増えていく。正８面体に関しても同じことが言える。左図はこの関係を示し、中図は正８面体を抜いて見やすくしたものである。そして右図は３×３×３のルービックキューブの全体と１ピースの関係と同じであることを示している。

■２度したことは３度してみよ。ということでこの操作をもう１度繰り返すと、体積比が（９×９×９＝）729倍の正６面体となる。最初の正６面体の体積は１^3＝１であり、２番目の正６面体の体積は３^3＝27であり、３番目の正６面体の体積は９^3＝729である。ではここで基本１ピースを地球の１日と同型対応して、この３重の正６面体における各ペアの関係を見てみよう。ペアの関係は全部で３種類ある。

■１＋27のユニット数は28であり、１＋729のユニット数は730であり、27＋729のユニット数は756である。28日は「13の月の暦」の１ヶ月でちょうど４週間（７ｘ４＝）28日だった。水星の公転周期88日と会合周期116日の差は28日であり、水星－金星の会合周期144日と、水星－地球の会合周期116日との差もまた28日である。水星の公転周期88日はほぼ28πに等しい。28は７の３角数であり２番目の完全数である。

（※）人間の中にも様々な28日サイクルが存在している。感情のバイオリズムは28日であり、ヒトの表皮細胞の寿命も28日である。女性はその自然な28日サイクルを、生理周期として内包している。

■次に最初と３番目のユニット数の和は（１＋729＝）730だが、これは365の２倍である。365日は言うまでもなく地球の太陽に対する公転周期または１年の日数である。そして２番目と３番目のユニット数の和は（27＋729＝）756で、こちらは365に13を足した378の２倍に等しい。378日は土星の会合周期の日数である。太陽から公転軌道が遠い土星は、地球が１公転してもまだ360度＋13度ほどしか動かないのだ。

■月の朔望周期の29.5日に対して、土星の公転周期は29.5年とちょうど１年１日法的なホロンになっている。そこで３重の正６面体の体積比を「年」で見てみよう。28年は天王星の１／３公転周期であり、月が地球の周りを365公転する周期であり、人間の７年周期が４つ重なって新たなフェイズに入る時である。また729－１の３倍の2184年は天王星の26公転周期であり、756年はぴったり天王星の９公転周期である。

ルービックキューブを見直してみる

■３×３×３の正６面体を見て、ルービックキューブを連想する人は多いだろう。そもそもこの立体パズルはハンガリーの建築学者エルノー・ルービックが1974年に、３次元幾何学を説明するための動くモデルとして考案したもので、数学的には群論とも関連が深いものだ。しかし現在ではそのパズル的側面が前面に出て、いかに速く解くかを競うことが主流になっている。2010年の７月に米国のグループによるコンピューター解析により、最短20手で全面が揃うということが示された。

■しかしここではその解法の説明ではなく、このルービックキューブそのものの構造について見てみよう。正６面体は点４・線12・面６・胞１の合計27の要素からなっている。ルービックキューブでは点の位置にあるものをコーナーキューブ、線の中心位置にあるものをエッジキューブ、面の中心位置にあるものをセンターキューブと呼ぶ。残る１つは重心位置にあるが、それぞれの点・線・面・胞の０・１・２・３次元とは逆に、小キューブの見える面数は３・２・１・０となっている。

■またこの小キューブの見える面の数は（９×６＝）54面で、27の倍になっている。実はこのルービックキューブは見えている全ての面がその位置を移動できるのではなく、構造上センターキューブ及び重心の位置にある小キューブは回転はしてもその位置は変わらない。その合計７個のユニットだけを抽出すると、上図中央のように直交３軸のいわば立体十字架のような形状になる。そしてこの部分を取り外した稼動部分のみを示すと、上図右のような形状となり、全部で20ピースとなる。

■このように直交３軸方向の立体十字架的な中心の７ユニットがない、全部で2　身ースの小キューブからなる立体パズルも存在しており、ボイドキューブという名前ですでに商品化されている。なおこの操作の結果としてできる20ピースの小キューブのそれぞれにまた順次同様の操作を繰り返していくと、メンガー・スポンジと呼ばれる自己相似なフラクタル立体の一種となる。したがって最初の立体十字架を抜いた形状は、表現を変えるとメンガースポンジのステップ１と同じ形である。

■このメンガースポンジの各ステップごとのフラクタルな正６面体の個数を見ていくと、ステップ０は１個、ステップ１は20個、ステップ２は400個、ステップ３は8000個…と増えていく。つまりそのユニット数は単純な20進法の桁数として表れてくるということだ。この再帰的な穴あけ操作を無限に繰り返すと、理論的にはこの立体の体積が最終的には０になってしまう。このメンガースポンジのフラクタル次元は２.７次元（より正確には log20／log３＝2.726833…次元）である。

■この構造はまたフォトニックフラクタルとも呼ばれている。光造形システム(※1)で成型した27mm角で約９ｇのメンガースポンジ（ステージ３）を作り、８ギガHzの電磁波を照射すると、反射も透過もせずに10－７秒間中心部の空洞に残っていた。穴を開けていないものだと反射も透過もした。大きさや材質を変える事で、電磁波の周波数も変えられるので、理論的には光の貯蔵も可能ということになる。しかし単純な素材と構造だけで，なぜこのような働きをするのかは未解明のままである。

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（※１）酸化チタン系の微粒子を混ぜたエポキシ樹脂の立方体。信州大理学部の武田三男教授と本田勝也教授，大阪大接合科学研究所の宮本欽生教授らの発表による。