循環小数

　分母が素数の分数で小数の部分が偶数桁で循環する場合、例えば、

1/7＝0.142857142857......

の142857を見てましょう。

　実は、前半の数と後半の数を足したものは、

142＋857＝999

のようになります。なぜでしょうか。

142857×1＝142857

142857×2＝285714

142857×3＝428571

142857×4＝571428

142857×5＝714285

142857×6＝857142

142857×7＝999999

並び替えると、

142857×1＝142857

142857×3＝428571

142857×2＝285714

142857×6＝857142

142857×4＝571428

142857×5＝714285

のように、数がぐるぐる回っています。これらの掛け算は、

1/7＝0.142857......

2/7＝0.285714......

3/7＝0.428571......

4/7＝0.571428......

5/7＝0.714285......

6/7＝0.857142......

7/7＝0.999999......

ということを意味しています。循環する数の一部を切り取って計算した訳です。1/7を計算すればわかると思いますが、途中の余りに1から6までが出てくるので、2/7から6/7までの計算は1/7の計算を途中からしたようになります。これが数がぐるぐる回る理由です。ここで、

1/7＋6/7＝2/7＋5/7＝3/7＋4/7＝7/7＝1＝0.999999......

です。少し分かりづらいですが、最後の9は無限に続くので厳密に1です。実はこれが999になった理由です。先ほどの、

142857×1＝142857

142857×3＝428571

142857×2＝285714

142857×6＝857142

142857×4＝571428

142857×5＝714285

を見ると、1と6を掛けた数、2と5を掛けた数、3と4を掛けた数はそれぞれ数が半周していることが分かります。なので、

142＋857＝999

は、

142857＋857142＝999999

のことであり、

1/7＋6/7＝1

と同じようなものなのです。

　これを知って、私は分数の計算が少し好きになりました。