微分

　微分とは、傾きを求めることです。物理をやる上で、私たちは微分ばかりすることになります。というのも、物の動きを捉えたい時に私たちがするのは、いつ、どこにいたかを知ることではなく、速さがどのくらいかを知りたいからです。この速さこそが、まさに位置の時間微分です。例えば、１秒間に何メートル進むか、ということです。今回は、微分について見ていきましょう。

　f(x)を、xを使った式だとします。今、傾きを求めたいのですが、傾きがそこら中で変わっていて、普通に求めるのは大変です。ここで、一部を大きく引き伸ばすと、なんと曲線が直線に見えるではありませんか。このように細かくして傾きを求めることを微分と言います。ここでは、微分はdf/dxとなります。dxはxがどれだけ増えたか、dfはxがdxだけ増えた時にfがどれだけ増えたかを表しています。dxもdfも大きさを持った０だということに気を付けましょう。計算はできるけど、最終的に０になる数だと思ってください。想像しにくければ、０だと思えるくらい小さな数(例えば0.001とか)だと思っても大丈夫です。

　難しいことを言いましたが、計算の最後でdxは０になるので計算自体は楽だったりします。例えばxの２乗の微分は、分子が2xdxとdxの２乗になるのですが、dxの２乗は分母と約分して最終的にdx、つまり０になるので、結局2xdxをdxで割って2xが傾きになります。例えば、x＝1なら傾きは2、といった具合です。同様に計算すると、xのn乗の微分は、肩の数字が下りてきて肩の数字が一個減ります。

　唐突ですが、eのx乗を微分してみましょう。まずはeが何かは気にせず、何かのx乗を微分したらどうなるか、という話を始めます。すると、eのx乗を分子から抜き出すことができます。あとは、この残ったものが１になるなら、eのx乗は微分しても変わらないことになります。実際に計算してみるとeは2.7くらいになります。計算は、dxをとても小さい数にするだけです。例えばdx＝0.01として計算すれば、eは1.01を100乗した数になり、ちゃんと2.7くらいになります。

　更に、eのx乗の逆関数をℓnxとします。逆関数とは、例えば、x＋1とxー1、2xとx/2は互いに逆関数です。１足して１引いたり、２を掛けて２で割ったりしたら元の数xに戻りますよね。順序を変えて、１引いて１足したり、２で割って２を掛けても元の数xに戻ります。実は、xの関数をyとすると、y＝x＋1とy＝2xの逆関数は、xとyを入れ替えて、x＝y＋1とx＝2yのようにすれば求められます。つまり、グラフの縦と横を入れ替えれば逆関数になる訳です。

　では、ℓnxの微分を導きましょう。ここで、eのℓnx乗を微分します。分母分子にd(ℓnx)を掛けると、eのx乗は微分しても変わらないので、eのℓnx乗もℓnxで微分すれば変わりません。あとは、eのℓnx乗はxと同じなので、xに置き換えて式を簡単にしましょう。一方、eのℓnx乗をxに置き換えてから微分すると、dx/dxとなり、約分して１になります。２つの式を組み合わせれば、ℓnxの微分は1/xになります。

　今回は、冪関数(xのn乗)、指数関数(eのx乗)、対数関数(ℓnx)の微分をやりました。この３つが微分できれば、普通の関数はこれらの組み合わせで表せるので、ほとんどが微分できることになります。導くのが面倒な人は、この３つは覚えてもいいかもしれません。というか、この３つは微分していれば自然と覚えてしまいます。

　私は、微分ができるようになって、そんなのずるいや、と思いました。いや、いい意味でです。