コンパクト作用素の気持ち🌱

こんにちは。

ちゅんちゅんです🐣

このあいだ、関数解析学の授業で

「コンパクト作用素」

という概念を以下のように習いました；

X, Y をバナッハ空間とする。
線形作用素 T: X→Y がコンパクト作用素であるとは、
「X の任意の有界列 {x_n} に対し、{Tx_n} は収束する部分列をもつ」
が成り立つときをいう。

さて、位相空間の言葉にも

「コンパクト空間」

という概念がありますね。

コンパクト作用素とコンパクト空間、

名前が似ているから何か関連があるのかなと思い調べてみました。

すると、次の特徴づけを見つけました；

X, Y をバナッハ空間とし、T: X→Y を線形作用素とする。
このとき、次の(1)と(2)は同値である；
(1) T はコンパクト作用素である。
(2) X の任意の有界集合 A に対して、 TA の閉包は Y のコンパクト部分空間である。

少しスッキリしました🌈