পরিমিতি (চতুর্ভুজ, বহুভুজ ও বৃত্ত) — সূত্র ও দ্রুত ফাইনাল উত্তর (BCS | Bank | Primary | NTRCA | P2A)

এই অধ্যায়ে আমরা চতুর্ভুজ (আয়তক্ষেত্র, বর্গ, রম্বস, ট্রাপিজিয়াম), সুষম বহুভুজ এবং বৃত্ত-সংক্রান্ত প্রয়োজনীয় সূত্রগুলো সংক্ষেপে দেখব এবং ভিডিওতে দেওয়া প্রতিটি উদাহরণ/প্রশ্নের **সুত্র+চূড়ান্ত উত্তর** প্রদান করব। পরীক্ষায় সময় বাঁচাতে সূত্রটি সঙ্গে রাখুন এবং সরাসরি ফলও ব্যবহার করুন।

---

 মৌলিক সূত্র (সংক্ষেপে)

**আয়তক্ষেত্র (Rectangle)**

* ক্ষেত্রফল $A = l \times w$

* কর্ণ $d = \sqrt{l^2 + w^2}$

* পরিসীমা $P = 2(l + w)$

**বর্গ (Square)**

* ক্ষেত্রফল $A = a^2$

* কর্ণ $d = a\sqrt{2}$

* পরিসীমা $P = 4a$

**রম্বস (Rhombus)**

* ক্ষেত্রফল $A = \dfrac{d_1 d_2}{2}$ (d₁, d₂ = দু’টি কর্ণ)

* প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $= a$ (সমবাহু)

**ট্রাপিজিয়াম (Trapezium)**

* ক্ষেত্রফল $A = \dfrac{1}{2}(b_1 + b_2) \times h$ (b₁,b₂ = সমান্তরাল বাহু, h = উচ্চতা)

**সুষম বহুভুজ (Regular polygon)**

* অন্তর্গত কোণ সমষ্টি $ = (n-2)\times 180^\circ$

* প্রতিটি বাহিরস্থ (external) কোণ $= \dfrac{360^\circ}{n}$

* প্রতিটি অন্তঃকোণ $= 180^\circ - \dfrac{360^\circ}{n}$

**বৃত্ত (Circle)**

* পরিধি $C = 2\pi r = \pi d$

* ক্ষেত্রফল $A = \pi r^2$

---

ভিডিওর প্রশ্ন — সূত্র এবং ফাইনাল উত্তরগুলো

> নির্দেশনা: নিচে প্রতিটি টপিক/প্রশ্নের পাশে প্রথমে প্রয়োগ করা **মূল সূত্র** দেখানো আছে, তারপর **ফাইনাল উত্তর (exact এবং numeric যেখানে প্রযোজ্য)** দেওয়া আছে।

---

আয়তক্ষেত্র-ভিত্তিক প্রশ্ন (Type 1)

1. **দেয়া:** কর্ণ $d=15$ মি, প্রস্থ $w=10$ মি।

**সূত্র:** $l=\sqrt{d^2-w^2},\; A=l\times w$

**উত্তর:** $l=5\sqrt{5}$ মি, $A=50\sqrt{5}\approx111.803\ \text{sq.m}$.

2. **দেয়া:** দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি, প্রস্থ ১০% হ্রাস।

**সূত্র:** $A'=(1.2)(0.9)A=1.08A$

**উত্তর:** ক্ষেত্রফল **+8%** বৃদ্ধি।

3. **দেয়া:** প্রস্থ = $ \tfrac{3}{4}$ × দৈর্ঘ্য, কর্ণ = 25 সেমি.

**সূত্র:** $L=\tfrac{4}{5}d$ (প্রশ্নে কর্ণ থেকে)

**উত্তর:** দৈর্ঘ্য $=20$ সেমি।

4. **দেয়া:** আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের থেকে 4 মিটার বেশি; পরিসীমা 32 মি।

**সূত্র:** $2(L+W)=32$, $L=W+4$

**উত্তর:** দৈর্ঘ্য $=10$ মি, প্রস্থ $=6$ মি।

5. **দেয়া:** দৈর্ঘ্য = 2 × প্রস্থ এবং ক্ষেত্রফল = 1250 বর্গমিটার।

**সূত্র:** $A = L\times W = 2W^2$

**উত্তর:** প্রস্থ $=25$ মি, দৈর্ঘ্য $=50$ মি।

6. **দেয়া:** পুকুর L=70 মি, W=60 মি; প্রত্যেক পাড়ের প্রশস্তি 4 মি। (পাড়ের ক্ষেত্রফল = বড় আয়তক্ষেত্র − মূল)

**সূত্র:** $A_{\text{bank}}=(L+8)(W+8)-LW$

**উত্তর:** $A_{\text{bank}}=1104\ \text{sq.m}$.

---

সমান্তরিক (Parallelogram)-ভিত্তিক (Type 2)

7. **দেয়া:** সমান্তরিক ক্ষেত্রফল 120 sq.cm; একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য 20 সে.মি। প্রাসঙ্গিক প্রশ্ন ছিল—কর্ণটির বিপরীত বিন্দু থেকে কর্ণের ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

**সূত্র:** সমান্তরিকের ক্ষেত্রফল = $d \times h'$ (এখানে $d$ = কাভার্ড কর্ণ, $h'$ = উপরোক্ত লম্ব)

**উত্তর:** $h'=\dfrac{120}{20}=6$ সেমি।

---

বর্গ (Square)-ভিত্তিক (Type 3)

8. **দেয়া:** বর্গের বাহু $a=8$ ft; কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল?

**সূত্র:** কর্ণ $=a\sqrt{2}$; কর্ণকে বাহু ধরলে নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল = $(a\sqrt{2})^2$.

**উত্তর:** $ (8\sqrt{2})^2 =128\ \text{sq.ft}$.

9. **দেয়া:** দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $25:36$. পরিসীমার অনুপাত?

**সূত্র:** ক্ষেত্রফল ∝ $a^2$ ⇒ বাহু অনুপাত = $5:6$ ⇒ পরিসীমা অনুপাত = $5:6$.

**উত্তর:** $5:6$.

10. **দেয়া:** বাহু ১০% বৃদ্ধি হলে ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি?

**সূত্র:** $(1+0.1)^2 -1 = 1.21 -1 =0.21$

**উত্তর:** **21%** বৃদ্ধি।

11. **দেয়া:** তিনটি বর্গাকার বাগানের প্রত্যেকের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে মোট ক্ষেত্রফলের শতকরা কত বৃদ্ধি?

**সূত্র:** প্রতিটির ক্ষেত্রফল গুণক = $1.5^2 =2.25$; বৃদ্ধি = $2.25-1=1.25=125\%$.

**উত্তর:** **125%** বৃদ্ধি (একটিও নয়, প্রতিটি + মোট মিলেও 125%)।

12. **দেয়া:** একটি বর্গের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে দুই বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত?

**সূত্র:** যদি $a=4b$ ⇒ ক্ষেত্রফল অনুপাত $a^2:b^2 =16:1$.

**উত্তর:** $16:1$.

13. **দেয়া:** একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 900 sq.m. => পরিসীমা?

**সূত্র:** $a=\sqrt{900}=30$; $P=4a$.

**উত্তর:** পরিসীমা = $120$ মি।

14. **দেয়া:** যদি একটি বর্গের এক বাহু অপর একটি বর্গের পরিসীমার সমান হয়, তাদের কর্ণের অনুপাত?

**সূত্র:** পূর্বে $a=4b$ ⇒ কর্ণ অনুপাত $a\sqrt2 : b\sqrt2 = a:b =4:1$.

**উত্তর:** $4:1$.

15. **দেয়া:** আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 3 × (বর্গক্ষেত্র ক্ষেত্রফল). আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 40 সেমি, এবং প্রস্থ = $\tfrac{3}{2}$ × (বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য)। বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য কী?

**সূত্র:** সরল সমীকরণ থেকে $s=20$ সেমি।

**উত্তর:** $20$ সেমি (বর্গের বাহু)।

16. **দেয়া:** একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = সমান্তরিক ক্ষেত্রফল; সমান্তরিক ভূমি 9 মি, উচ্চতা 4 মি। বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য?

**সূত্র:** সমান্তরিক ক্ষেত্রফল $=9\times4=36$. বর্গের বাহু $=6$. কর্ণ $=6\sqrt2$.

**উত্তর:** কর্ণ $=6\sqrt{2}$ মি।

---

 রম্বস (Rhombus)-ভিত্তিক (Type 4)

17. **দেয়া:** রম্বস কর্ণদ্বয় $16$ মি ও $8$ মি। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

**সূত্র:** রম্বস ক্ষেত্রফল $=\dfrac{16\times8}{2}=64$. বর্গের বাহু $=8$. পরিসীমা $=32$.

**উত্তর:** $32$ মি।

18. **দেয়া:** রম্বসের একটি কর্ণ $=6$ মি এবং ক্ষেত্রফল $=120\ \text{sq.m}$। অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

**সূত্র:** $A=\dfrac{d_1 d_2}{2}\Rightarrow d_2=\dfrac{2A}{d_1}$.

**উত্তর:** $d_2=\dfrac{240}{6}=40$ মি।

19. **দেয়া:** রম্বসের প্রতিটি বাহু $=20$ সে.মি., একটি কর্ণ $=32$ সে.মি.। এ রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

**সূত্র:** প্রথমে অপর কর্ণ $=24$ সে.মি. (পিথাগোরাস প্রয়োগে), তারপর $A=\dfrac{32\times24}{2}=384$.

**উত্তর:** $384\ \text{sq.cm}$ (বা sq.m যদি একক সে.মি নয়; এককের সাথে মিলিয়েই দেখবেন)।

---

ট্রাপিজিয়াম (Trapezium)-ভিত্তিক (Type 5)

20. **দেয়া:** সমান্তরাল বাহু $12$ ও $18$ সেমি, উভয়ের লম্ব দূরত্ব $10$ সেমি।

**সূত্র:** $A=\dfrac{1}{2}(b_1+b_2)h$

**উত্তর:** $A=\dfrac{1}{2}(12+18)\times10 =150\ \text{sq.cm}$.

21. **দেয়া:** দুই সমান্তরাল বাহুর মধ্যে তফাৎ $=1$ মি, উচ্চতা $=3$ মি, এবং ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল $=30\ \text{sq.m}$। বড় বাহু কত?

**সূত্র:** পূর্বোক্ত সূত্র ব্যবহার করে সমীকরণ সমাধানে $b_{\text{large}}=10.5$ মি।

**উত্তর:** $10.5$ মি।

---

সুষম বহুভুজ (Regular polygons) — Type 6

22. **প্রশ্ন:** একটি পঞ্চভুজের অন্তর্গত কোণগুলোর সমষ্টি?

**সূত্র:** $(n-2)\times180^\circ$ ⇒ $ (5-2)\times180=540^\circ$.

**উত্তর:** $540^\circ$.

23. **প্রশ্ন:** সুষম ষড়ভুজের একটি বাহিরস্থ (external) কোণ কত?

**সূত্র:** $360^\circ/n$ ⇒ $360/6=60^\circ$.

**উত্তর:** $60^\circ$.

24. **প্রশ্ন:** সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ $=120^\circ$ হলে তাহার বাহুর সংখ্যা?

**সূত্র:** $(n-2)\times180/n =120$ ⇒ $n=6$.

**উত্তর:** $6$ বাহু (hexagon)।

---

 বৃত্ত-ভিত্তিক (Final Type)

25. **দেয়া:** বৃত্তের ব্যাস $r$ থেকে $p+r$ করলে ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। $p$ কী?

**সূত্র:** $(p+r)^2 = 2 r^2 \Rightarrow p = r(\sqrt2 -1)$.

**উত্তর:** $p = r(\sqrt{2}-1)$.

26. **দেয়া:** পরিধি $=132$ এবং ক্ষেত্রফল $=1386$. ব্যাসার্ধ কত?

**সূত্র:** সংখ্যা হিসেবে সমন্বয় থেকে $r=21$.

**উত্তর:** $r=21$ (ইউনিট একই)।

27. **দেয়া:** কোনো বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল সমান হলে বৃত্তটির ব্যাস কত?

**সূত্র:** $2\pi r = \pi r^2 \Rightarrow r=2 \Rightarrow d=4.$

**উত্তর:** ব্যাস $=4$ ইউনিট।

28. **দেয়া:** ক্ষেত্রফল $=18\pi$ হলে পরিধি?

**সূত্র:** $A=\pi r^2\Rightarrow r=3\sqrt2$. $C=2\pi r =6\sqrt2\pi$.

**উত্তর:** পরিধি $=6\sqrt2\pi$ ইউনিট।

29. **দেয়া:** চাকার ব্যাস = $70$ সে.মি.; একবার ঘুরলে পথ কত?

**সূত্র:** $C=\pi d$

**উত্তর:** $70\pi$ সে.মি. (প্রায় $219.91$ সে.মি. যদি $\pi\approx3.1416$)।

30. **দেয়া:** পরিধি $=12$ মি; মোট পথ $=5040$ মি; চাকাটি কতবার ঘুরবে?

**সূত্র:** ঘূর্ণন সংখ্যা $=5040/12$

**উত্তর:** $420$ বার।

31. **দেয়া:** বৃত্তাকার পার্ক (ব্যাস $=100$ মি) এবং চারপাশে 2 মি প্রশস্ত রাস্তা; রাস্তার ক্ষেত্রফল?

**সূত্র:** $A_{\text{road}}=\pi(52^2 -50^2)=\pi\times204$

**উত্তর:** $204\pi$ sq.m (প্রায় $640.885\ \text{sq.m}$)।

32. **দেয়া:** ব্যাস তিনগুণ হলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বেড়ে যায়?

**সূত্র:** ব্যাস ∝ r, ক্ষেত্রফল ∝ r^2 ⇒ $3^2 =9$ গুণ।

**উত্তর:** **9 গুণ**।

33. **দেয়া:** ব্যাসার্ধ 10% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফল কত % পরিবর্তন?

**সূত্র:** নতুন ক্ষেত্রফল ∝ (0.9r)^2 =0.81r^2 ⇒ 19% হ্রাস।

**উত্তর:** **19% হ্রাস**।

34. **দেয়া:** ২ সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গের ভিতরে অন্তর্ভুক্ত বৃত্ত অঙ্কিত; বৃত্ত দ্বারা বর্গের অনধিকৃত অংশের ক্ষেত্রফল কত?

**সূত্র:** বর্গ ক্ষেত্র $=2^2=4$. ইনস্ক্রাইবড বৃত্তের ব্যাস $=2$, hence $r=1$, বৃত্ত ক্ষেত্র $=\pi$. বর্গে অবশিষ্ট $=4-\pi$.

**উত্তর:** $4-\pi$ sq.cm (প্রায় $0.8584\ \text{sq.cm}$)।

---

শেষ কথা — পরীক্ষা-কৌশল (সংক্ষেপে)

* সূত্র-পত্র আপনার সঙ্গী: প্রতিটি আকার-সুত্র মনোযোগে রাখুন।

* পরীক্ষায় সময়ে স্টেপ দেখাতে না চাইলে: সূত্র লিখে **final answer** দিন (কাস্টমার/চ্যাপ্টারে চান)।

* অনুশীলনে “Exact form” (√, π) ও decimal দুটোই রুটিনে রাখুন—কখন কোনটাই প্রয়োজন হবে তা পরীক্ষায় বুঝে নিবেন।

* দ্রুত গণনার জন্য কাগজে ছোট ছোট টেমপ্লেট তৈরী করুন (কোনো আকারে কী সূত্র ব্যবহার হবে তা ১ পৃষ্ঠায়)।