数学の面白い話〜モンティ・ホール問題②〜

前回はモンティ・ホール問題について紹介しました。

そして、いくつかの考え方を紹介しましたが、それは全て間違いでしたね。

では、正しい考え方は何であるのか。今回はこれを紹介していこうと思います。

まずは全ての場合について、扉を変えた場合の確立を求めてみましょう。

まず、最初にAの扉を選んだ場合を考えます。

この時アタリとハズレの組み合わせは

①Aアタリ Bハズレ Cハズレ

②Aハズレ Bアタリ Cハズレ

③Aハズレ Bハズレ Cアタリ

の3通りあります。

①の場合、司会者はBまたはCの扉を開けますが、どちらの場合も残るのはハズレの扉です。

その為、変えた場合はハズレとなります。

②の場合、司会者はCの扉を開けます。

この時、残ったBの扉はアタリなので、変えた場合はアタリとなります。

③の場合、司会者はBの扉を開けます。

この時、残ったCの扉はアタリなので、変えた場合はアタリとなります。

よって、最初にAの扉を選んだ場合、アタリが2通りハズレが1通りとなります。

次に、最初にBの扉を選んだ場合を考えます。

この時アタリとハズレの組み合わせは

①Aアタリ Bハズレ Cハズレ

②Aハズレ Bアタリ Cハズレ

③Aハズレ Bハズレ Cアタリ

の3通りあります。

①の場合、司会者はCの扉を開けます。

この時、残ったAの扉はアタリなので、変えた場合はアタリとなります。

②の場合、司会者はAまたはCの扉を開けますが、どちらの場合も残るのはハズレの扉です。

その為、変えた場合はハズレとなります。

③の場合、司会者はAの扉を開けます。

この時、残ったCの扉はアタリなので、変えた場合はアタリとなります。

よって、最初にBの扉を選んだ場合、アタリが2通りハズレが1通りとなります。

最後に、最初にCの扉を選んだ場合を考えます。

この時アタリとハズレの組み合わせは

①Aアタリ Bハズレ Cハズレ

②Aハズレ Bアタリ Cハズレ

③Aハズレ Bハズレ Cアタリ

の3通りあります。

①の場合、司会者はBの扉を開けます。

この時、残ったAの扉はアタリなので、変えた場合はアタリとなります。

②の場合、司会者はAの扉を開けます。

この時、残ったBの扉はアタリなので、変えた場合はアタリとなります。

③の場合、司会者はAまたはBの扉を開けますが、どちらの場合も残るのはハズレの扉です。

その為、変えた場合はハズレとなります。

よって、最初にCの扉を選んだ場合、アタリが2通りハズレが1通りとなります。

以上のように考えると、アタリの場合が全部で6通り、ハズレの場合が全部で3通りとなります。

よって、アタリの確率は2/3です。

どうでしょうか？

次はもう少し感覚的に捉えていきましょう。

扉の数を100個に増やして考えてみます。

最初に1つ扉を選んだ後、司会者が選ばなかった扉のうちハズレの扉を98個開けます。

この場合はいかがでしょうか？

変えた方が良い気がしませんか？

変えなかった場合にアタリになるのは、最初に選んだ扉がアタリだった場合のみです。

それに対して、変えた場合にアタリになるのは、最初に選んだ扉以外がアタリだった場合です。

こう考えると、変えた方がアタリの確率が高くなりそうですね。

さて、いかがでしたか？

今回は2つの方法でモンティ・ホール問題を考えました。そして、これが正しい考え方なのです。

つまり、モンティ・ホール問題の答えは

「変えた方が確率は高い」

となります。

このモンティ・ホール問題がアメリカのテレビ番組で初めて出題された時は、数学者でさえ答えが分かれてしまったそうです。

こんな不思議な確率のトリックであるモンティ・ホール問題。

皆さんは正しい答えが導き出せたでしょうか？