お茶会で2次形式論の類数の話をしました。

2次形式とは、整数 a, b, c と変数 x, y で

f(x,y)=axx+bxy+cyy

の形で表される関数のことです。

D(f)=bb-4ac とおき、この D のことを f の判別式と呼びます。

整数 d が与えられた時、D(f)=d となるような2次形式 f の個数を h(d) と書きます。

この h(d) のことを、類数といいます。

ところで、有理数 p, q を用いて p+q√d と表されるような数全体からなる空間を Q(√d) と書き、2次体と呼びます。

2次体の世界で整数のような概念を定義して、整数のような数全体からなる空間を Z[ω(d)] と書くことにします。

Z[ω(d)] の世界で素数のような概念を定義して、素因数分解のような構造を考えます。

じつは、さっき出てきた類数の概念は、Z[ω(d)] の構造と深く関係があります。

詳細は省略しますが、いい感じの性質をもつ整数のことを基本数と呼びます。

d が基本数の時、Z[ω(d)] が素因数分解の一意性の構造を持つための必要十分条件は h(d)=1 であることが知られています。

例えば、d=-4 の類数は h(-4)=1 であり、Z[ω(d)]=Z[√-1] は素因数分解の一意性の構造を持ちます。

(この Z[√-1] はガウス整数環と呼ばれています。)

このように、「類数」の概念は整数論の分野で非常に重要な概念のひとつです。

d<0 のとき、 h(d)=1 となるような d は 1966 年にすべて決定されました。

d>0 のとき、h(d)=1 となるような d は無数に存在するだろうと予想されていますが、2019年12月現在、未解決です (ガウス予想)。