中学生がオイラーの公式を徹底解説！（証明アリ）

〈後出のオイラーの公式の証明〉

微分方程式（証明方法①）

随時公開予定

テイラー展開（証明方法②）　

随時公開予定

ということで、このオイラーの等式は、どうやって導くのでしょうか。

ここで、まずオイラーの公式について話ます。

オイラーの公式とは、次のものです。

e^iθ = cosθ + i sinθ

何とも不思議な式です。

これに、θ=πを代入すると、　

cosπ=-1 , sinπ=0 だから、　

e^iθ=-1　となり、移行すると最初のオイラーの等式に辿り着きます。

つまり、

e^iθ = cosθ + i sinθ　が証明できればオイラーの等式を導けるのです。

では、このオイラーの公式の証明について書きたいと思います。

まず、右辺がややこしいですね。だから、右辺から始めましょう。

y = cosθ + i sinθ とおく。

三角関数ですね。三角関数といえば、微分でしょうか。ということで、微分してみます。

y’ = -sinθ + i cosθ

ここで、iの定義を思い出してください。i^2=-1ですよね。よってこの式は、

y’ = i^2 sinθ + i cosθ = i(cosθ + i sinθ) = i y

これがこの証明方法の大きなポイントです。

右辺を微分したものと、右辺に虚数単位iをかけたものは等しいのです。

よって、以下の式が成り立ちます。

y'/y = i

あとは、両辺をθで積分するだけです。

∫ y'/y dθ = ∫ i dθ

log |y| = iθ

y = e^iθ 

最初に、y = cosθ + i sinθ とおきました。よって、以下のオイラーの公式が導出されます。

e^iθ = cosθ + i sinθ